اكتشاف ليفنت ألبوجه لفرضية جاكوبي يثير حماس علماء الرياضيات ويعيد التفكير في دور الذكاء الاصطناعي في الرياضيات.
بينما كان الملايين من الناس يتعافون من حماس نهائي كأس العالم لكرة القدم في بداية الأسبوع الماضي، كانت هناك نوع مختلف من الحماس يتزايد داخل المجتمع الرياضي.
أعلن ليفنت ألبوجه، عالم الرياضيات الذي يعمل في شركة الذكاء الاصطناعي أنثروبك، بشكل غير رسمي على منصة X أنه وجد مثالاً مضاداً لفرضية جاكوبي، وهي مشكلة قديمة ومعروفة في مجال الرياضيات يُعرف باسم الهندسة الجبرية. وقد فعل ذلك باستخدام نموذج اللغة الكبير كلود فابل 5، الذي تم إصداره للجمهور منذ بضعة أسابيع فقط.
يعد هذا أحد أحدث الاختراقات الرياضية المذهلة التي حققها علماء الرياضيات الذين يعملون مع نماذج اللغة الكبيرة. لكن هذا يبدو مختلفًا قليلاً عن تلك التي سبقتها.
ما هي فرضية جاكوبي؟
أولاً، ما هي الفرضية؟ إنها فكرة يعتقد بعض علماء الرياضيات أنها صحيحة ولكن لم يتمكن أحد من إثباتها أو دحضها.
الآن إلى فرضية جاكوبي. إنها مسألة مجردة ولكن ليس من الصعب وصفها.
تتعلق الفرضية بالدوال، التي تشبه الآلات الصغيرة التي تُدخل فيها عددًا أو أكثر وتخرج منها أرقام أخرى وفقًا لقواعد أو معادلات معينة. في هذه الحالة، تستخدم الدوال ما يُعرف بالحدود الجبرية.
تحديدًا، تتعلق بالظروف التي تمثل فيها الأرقام نقاطًا في الفضاء، مثل الإحداثيات على خريطة. لذا يمكننا أن نتخيل أنه عندما تأخذ الدالة بعض الأرقام وتخرج أرقامًا أخرى، فإنها تتحرك بالنقاط في الفضاء.
يمكنك اختبار مدى “جمالية” حركة الدالة في الفضاء من خلال حساب شيء يُعرف بمحدد جاكوبي. إذا كان محدد جاكوبي دائمًا عددًا ثابتًا غير صفر، فإن الدالة لا تطوي أو تضغط الفضاء حول نقطة معينة.
تنص فرضية جاكوبي على أنه عندما يكون محدد جاكوبي عددًا ثابتًا غير صفر، يجب أن توجد دائمًا دالة أخرى، مكونة أيضًا من حدود جبرية، تعكس الدالة الأصلية. سيعيد ذلك جميع النقاط إلى مواقعها الأصلية.
ليست كل دالة قابلة للعكس. على سبيل المثال، إذا كانت دالتنا الأصلية تحرك نقطتين من النقاط الأصلية إلى نقطة واحدة، فلا يمكننا عكسها. بمجرد دمج النقاط، لا يمكننا تمييزها لإعادتها إلى المواقع الصحيحة.
تاريخ طويل من المحاولات والفشل
تم تقديم النسخة ثنائية الأبعاد من فرضية جاكوبي من قبل عالم الرياضيات التشيكي لودفيغ كراوس في عام 1884. وتم تعميمها على أي عدد من الأبعاد من قبل عالم الرياضيات الألماني أوت-هاينريش كيلر في عام 1939.
كانت تعتبر مثيرة للاهتمام لدرجة أن الحائز على ميدالية فيلدز ستيفن سمايل أدرجها في قائمته لمشاكل الرياضيات للقرن المقبل في عام 1998.
خلال تاريخها الطويل، كانت فرضية جاكوبي موضوع العديد من الأدلة المزعومة، بما في ذلك من قبل بنيامينو سيغري وولفغانغ غروبنر، وهما عالمان رياضيان مشهوران من القرن العشرين. ومع ذلك، في كل حالة، تم العثور على أخطاء دقيقة أبطلت الحجج.
على الرغم من ذلك، كان هناك أيضًا عدد من الجهود الصحيحة التي أظهرت أن الفرضية صحيحة مع قيود مختلفة. كما أظهرت النتائج الحسابية أنها صحيحة في بعدين للحدود الجبرية حتى الدرجة 100 (أي، بما في ذلك قوى المتغيرات حتى 100).
لكن لم يثبت أحد الحالة العامة – أو وجد مثالًا يُظهر أن الفرضية خاطئة.
إجابة بسيطة بشكل خادع
أحد الأسباب الرئيسية التي تجعل فرضية جاكوبي مثيرة للاهتمام هو أنه، من الناحية النظرية، يجب أن يكون من السهل العثور على مثال مضاد. من السهل ابتكار أمثلة لدوال تدمج النقاط، وكذلك أمثلة للخرائط الجبرية التي لها محدد جاكوبي ثابت.
ومع ذلك، فإن العثور على خريطة جبرية تمتلك كلا الخاصيتين هو التحدي. في الواقع، كما أشار أحد مستخدمي Math Stack Exchange في منشور من عام 2017، “حسب كل ما نعرفه، يمكن لأي طالب ذكي ببساطة كتابة صيغة […] ستكون مثالًا مضادًا لهذه الفرضية.”
في الواقع، تبين أن هذا هو الحال بالنسبة لدالة ألبوجه، التي كانت قصيرة بما يكفي لتناسب منشور واحد على X. وجد مثالًا لدالة في ثلاثة أبعاد لها محدد جاكوبي ثابت قدره -2، والتي تحرك نقاط إدخال متعددة إلى نفس نقطة الإخراج، لذا فهي ليست قابلة للعكس.
تظهر أن الفرضية خاطئة لكل بعد أكبر من 2، مع بقاء الفرضية الأصلية في بعدين مفتوحة. جعلت قصر المثال المضاد من السهل على علماء الرياضيات الآخرين التحقق منه.
التقدم الأخير في سلسلة متزايدة
اكتشاف ألبوجه هو الأحدث في سلسلة من الاختراقات الرياضية البارزة التي حققها نماذج اللغة الكبيرة. تشمل الأمثلة الأخيرة دحض OpenAI لفرضية المسافة الوحدوية، وإثبات مشكلة إردوش 1196 من قبل ليام برايس، عالم رياضيات هاوي يبلغ من العمر 23 عامًا.
توضح كلا المثالين واحدة من أقوى نقاط نماذج الذكاء الاصطناعي. يمكنها الاستفادة من الأفكار من مجالات مختلفة من الرياضيات، ودمجها بطريقة جديدة لإثبات نتائج مذهلة.
في وقت كتابة هذا المقال، لم يتم الكشف عن تفاصيل حول كيفية قيام ألبوجه بتحفيز نموذج الذكاء الاصطناعي لإنتاج مثال مضاد لفرضية جاكوبي وما كان يبدو عليه مخرجاته. ومع ذلك، يبدو أن هذه النتيجة حتى الآن من طبيعة مختلفة.
على عكس العديد من الاختراقات المدعومة بالذكاء الاصطناعي الأخرى، فإن المثال المضاد بسيط بشكل ملحوظ. يبدو أن الصعوبة في العثور عليه لم تكن في بناء معقد أو إثبات طويل، بل في العثور على طريقة جيدة للتنقل في مساحة بحث هائلة من الخرائط الجبرية الممكنة للعثور على واحدة ذات الخصائص الصحيحة.
يشير هذا إلى أن الذكاء الاصطناعي قد يثبت أنه ذو قيمة كبيرة في اكتشاف كائنات رياضية غير متوقعة بقدر ما هو مفيد في بناء الأدلة. ما يعنيه ذلك لمستقبل الرياضيات – وعلماء الرياضيات البشر – لا يزال يتعين رؤيته.
تم إعادة نشر هذه المقالة من The Conversation بموجب ترخيص المشاع الإبداعي. اقرأ المقال الأصلي.
يبقى أن نرى كيف سيؤثر هذا الاكتشاف على مستقبل الرياضيات وعلماء الرياضيات البشر.
